Saturday, May 25, 2013

Aljabar Boolean

1.  Aljabar Boolean

          Matematika Merupakan sarana yang berguna dalam analisis rangkaian logika digital. Semua operasi logika dalam suatu rangkaian logika tergantung pada ada atau tiadanya sisnyal, suatu variabel logika hanya dapat memiliki satu dari dua nilai yang mungkin terjadi yaitu 0 atau 1. Matematika dengan dua nilai itu disebut dengan Aljabar Boolean dua nilai. Aljabar Boolean dapat didefinisikan dengan suatu himpunan unsur dan sejumlah aturan-aturan untuk menentukan logika digital, atau “switching algebra”, yaitu berupa aksioma-aksioma dan teorema-teorema. Operator-operator yang digunakan pada Aljabar Boolean : { · , + , ‘ ,  }. Aksioma-aksioma dan Teorema-aksioma digunakan untuk membantu atau mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhanameningkatkan “area dan kecepatan” dari rangkaian digital.

2.  Aksioma dan Teorema pada Aljabar Boolean
Aksioma merupakan kumpulan definisi dasar minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching dan dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema aljabar switching lainnya. Berikut Aksioma-aksioma dan teorema-teorema dalam Aljabar Boolean :

Contoh manipulasi ekspresi Boolean
Bagaimana menyatakan (A · B + C)?
Gunakan teorema DeMorgan.
A · B + C  = ( ( A · B + C )’ )’
                 = ( ( A · B )’ · C’ )’
                 = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’
( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’
3.  Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema Aljabar Switching
3.1.  Term perkalian:
Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z)

3.2  Term penjumlahan:
Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z)
3.3  Ekspresi sum-of-products (SOP):
Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z)
3.4  Ekspresi product-of-sums (POS) :
Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z)
3.5  Term normal: 
       term perkalian atau penjumlahan di dalamnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali. 
Contoh term-term non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y
Contoh term-term normal: W·X·Y’ W+X’+Y

4.  Minterm dan Maxterm
4.1  Minterm

  • Sebuah minterm n-variabel merupakan sebuah term perkalian normal dengan literals.
  • Terdapat 2^n (2 pangkat n) term perkalian yang demikian.
  • Contoh minterm 4 variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ 
  • Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran.
4.2  Maxterm

  • Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals.
  • Terdapat 2^n term-2 penjumlahan yang demikian.
  • Contoh-2 maksterm 4-variabel : W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z
  • Dapat didefiniskan sebagai sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar satu baris dari tabel kebenaran.

4.3  Representasi Penjumlahan Kanonis

  • Minterm i : Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1.
  • Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): Jumlah dari seluruh minterms untuk suatu fungsi yang diberikan pada (tabel kebenaran).
  • Notasi untuk Fungsi Minterm adalah : Σ
  • Contoh : Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z
  • Representasi ini biasa direalisasi dengan menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-inverter pada masukan-masukan gerbang AND, seperti yang diperlukan.
  • Fungsi direpresentasikan dengan tabel kebenaran:




  • Mempunyai representasi penjumlahan kanonis sebagai berikut : F = Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z

4.4  Representasi Perkalian Kanonis

  • Maxterm i: baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0
  • Pekalian kanonis: Perkalian dari maxterms untuk suatu fungsi yang diberikan pada (tabel kebenaran)
  • Notasi π : Contoh: π X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’)
  • Representasi direalisasi dengan menggunakan rangkaian logika OR-AND 2 level dengan inverter pada masukan-masukan gerbang OR, seperti dibutuhkan
  • Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran:


  • Memiliki representasi perkalian kanonis Sebagai berikut : F = π X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’)


  • Sumber :
    • Mano, M. and Prentice Hall. 2002. Digital Design. New Jersey.
    • Mismail, Budiono. 1998. Dasar-Dasar Rangkaian Logika Digital. Bandung : ITB

    2 comments:

    Agus Wirayasa said...

    terimakasih informasinya . . :)

    Soniya Gunawan said...

    sama2 :)

    Post a Comment

    Template by:

    Free Blog Templates